Logarithmic Sobolev inequality for log-concave measure from Prékopa-Leindler inequality

We develop in this paper an amelioration of the method given by S. Bobkov and M. Ledoux in [BL00]. We prove by Prékopa-Leindler Theorem an optimal modified logarithmic Sobolev inequality adapted for all log-concave measure on Rn. This inequality implies results proved by Bobkov and Ledoux, the Euclidean Logarithmic Sobolev inequality generalized in the last years and it also implies some convex logarithmic Sobolev inequalities for large entropy. Résumé Dans cet article nous proposons une amélioration de la méthode développée par S. Bobkov et M. Ledoux dans [BL00]. Nous prouvons par le théorème de Prékopa-Leindler une inégalité de Sobolev logarihmique, optimale et adaptée à toutes les mesures log-concaves sur Rn. Cette inégalité implique les résultats de Bobkov et Ledoux, les inégalités de Sobolev logarithlmique de type Euclidien généralisées ces dernières années et enfin cetaines inégalités de Sobolev logarithmiques de type convexe pour les grandes entropies.